【Edición del Ministerio de Educación】Matemáticas de Secundaria, 2º año, segundo semestre: El misterio de la superposición de tiras: Conociendo los paralelogramos

Imagina los rayos paralelos de la física atravesando agujeros en una placa de cartón y dejando manchas luminosas sobre la mesa, o simplemente corta dos tiras translúcidas con bordes paralelos y colócalas al azar una encima de la otra. Sin importar cómo gires el ángulo de estas tiras, la región oscura donde se superponen siempre formará una figura geométrica perfecta—paralelogramo.

La esencia y descomposición de los paralelogramos

En geometría, 'paralelo' representa un orden que nunca se intersecta. Cuando combinamos dos pares de segmentos paralelos, definimos este fascinante polígono:Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares se llama paralelogramo(denotado como $\square ABCD$).

Para descifrar el secreto del paralelogramo, los matemáticos han empleado una estrategia ingeniosa de reducción dimensional:«conectar las diagonales». Una diagonal divide instantáneamente el cuadrilátero desconocido en dos triángulos que ya conocemos.

Paso 1: Introducir la diagonal para construir un puente

Como se muestra en la Figura 18.1-3, en el $\square ABCD$, conecta la diagonal $AC$.

Utiliza la «magia de los ángulos alternos internos» de las líneas paralelas:
$\because AD \parallel BC$ y $AB \parallel CD$
$\therefore \angle 1 = \angle 2$, y $\angle 3 = \angle 4$.

Paso 2: La victoria de los triángulos congruentes

En este momento, $AC$ es ellado común.

Según el teorema «ángulo-lado-ángulo (ASA)», $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$.
Una vez que son congruentes, sus elementos correspondientes son completamente iguales:
$\therefore AD=CB$, $AB=CD$, y $\angle B=\angle D$.

Distancia y altura: La sincronización eterna entre rectas paralelas

¿Por qué, sin importar cómo se incline el paralelogramo, la altura relativa a la misma base siempre es la misma? Esto introduce otro concepto clave:la distancia entre rectas paralelas. El segmento perpendicular trazado desde cualquier punto de una recta paralela hasta la otra recta se denomina distancia entre esas dos rectas paralelas. Al igual que las viguetas entre dos vías de ferrocarril, su longitud permanece constante.

🎯 Leyes fundamentales y teoremas de identificación

¡Si dominas la técnica de dividir en triángulos congruentes, podrás deducir fácilmente todas las propiedades y teoremas de identificación!

Teoremas de propiedades:Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales; los ángulos opuestos son iguales; las diagonales se bisecan mutuamente.
Teoremas de identificación (inferidos al revés):Un cuadrilátero con dos pares de lados opuestos iguales es un paralelogramo; un cuadrilátero con dos pares de ángulos opuestos iguales es un paralelogramo; un cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan mutuamente es un paralelogramo; un cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos e iguales es un paralelogramo.

PREGUNTA 1

En el paralelogramo $\square ABCD$, se sabe que los lados adyacentes $AB=5$ y $BC=3$. ¿Cuál es el perímetro de este paralelogramo?

PREGUNTA 2

En el paralelogramo $\square ABCD$, se sabe que el ángulo interno $\angle A=38^{\circ}$. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$?

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

$\angle B=38^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=52^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

PREGUNTA 3

Xiao Ming caminó $80\text{ m}$ hacia el este, luego avanzó $60\text{ m}$ en otra dirección y finalmente caminó $100\text{ m}$ en una tercera dirección regresando exactamente al punto inicial. ¿Hacia dónde caminó Xiao Ming en su segunda etapa tras haber caminado $80\text{ m}$ hacia el este?

Sur o norte

Nordeste o sureste

Este o oeste

Noroeste o sudoeste

PREGUNTA 4

Para asegurar que dos vías de ferrocarril rectas sean absolutamente paralelas, los trabajadores solo necesitan que todas las viguetas colocadas entre ellas, y paralelas a ellas, tengan la misma longitud. ¿Qué principio geométrico se encierra en esto?

Los segmentos paralelos situados entre dos rectas paralelas son iguales, y la distancia entre rectas paralelas es constante en todo punto

Los ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales

Un cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan mutuamente es un paralelogramo

La mediana de un triángulo es paralela al tercer lado y tiene la mitad de su longitud

PREGUNTA 5

如图所示 $\square OABC$ 在直角坐标系中，顶点 $O, A, C$ 的坐标分别是 $(0,0), (a,0), (b,c)$。利用平行四边形的性质，顶点 $B$ 的坐标应该是多少？

$(a+b, c)$

$(a, c)$

$(b-a, c)$

$(a+c, b)$

Ejercicio práctico: Exploración profunda de paralelogramos

Resolver problemas complejos utilizando triángulos congruentes y teoremas de identificación

[Exploración práctica] Corta dos tiras con lados opuestos paralelos, colócalas al azar una encima de la otra, y la región de superposición forma un cuadrilátero $ABCD$. Al girar una de las tiras, ¿qué relación existe entre las longitudes de los segmentos $AD$ y $BC$? ¿Por qué?

Solución detallada:
Relación:El segmento $AD = BC$.
Razón:两张纸条交叉叠放时，由于纸条本身的对边是互相平行的，因此重合区域组成的四边形 $ABCD$ 中，必然存在 $AB \parallel CD$ 且 $AD \parallel BC$。根据定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，四边形 $ABCD$ 是一个平行四边形。再根据平行四边形的性质定理“平行四边形的对边相等”，得出 $AD = BC$。无论如何转动角度，这一定理始终成立。

[Perímetro y diagonales] En el $\square ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en el punto $O$. Se sabe que $BC=10$, $AC=8$, $BD=14$.
(1) ¿Cuál es el perímetro de $\triangle AOD$?
(2) ¿Cuál tiene mayor perímetro, $\triangle ABC$ o $\triangle DBC$? ¿Cuánto más?

Solución detallada:
(1) Calcula el perímetro de $\triangle AOD$:
Según las propiedades del paralelogramo «las diagonales se bisecan mutuamente» y «los lados opuestos son iguales», se sabe que:
$AO = \frac{1}{2}AC = 4$,
$DO = \frac{1}{2}BD = 7$,
$AD = BC = 10$.
Por lo tanto, el perímetro de $\triangle AOD$ es $AD + AO + DO = 10 + 4 + 7 = 21$.

(2) Compara los perímetros de $\triangle ABC$ y $\triangle DBC$:
El perímetro de $\triangle ABC$ es $AB + BC + AC = AB + 10 + 8 = AB + 18$.
El perímetro de $\triangle DBC$ es $CD + BC + BD$. Como $CD = AB$, el perímetro es $AB + 10 + 14 = AB + 24$.
Al comparar, se observa que el perímetro de $\triangle DBC$ es mayor que el de $\triangle ABC$, y la diferencia es $24 - 18 = 6$.

[Desafío de demostración] Como se muestra en la figura, las diagonales $AC, BD$ del $\square ABCD$ se intersectan en el punto $O$. La recta $EF$ pasa por el punto $O$ y corta a $AB$ y $CD$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que $OE=OF$.

Proceso de demostración:
En el $\square ABCD$, los lados opuestos $AB \parallel CD$, y las diagonales se bisecan mutuamente, por lo tanto, $OA = OC$.
$\because AB \parallel CD$
$\therefore \angle OAE = \angle OCF$ (si dos rectas son paralelas, los ángulos alternos internos son iguales).
En los triángulos $\triangle AOE$ y $\triangle COF$:
$\begin{cases} \angle OAE = \angle OCF \\ OA = OC \\ \angle AOE = \angle COF \text{ (ángulos opuestos por el vértice son iguales)} \end{cases}$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF$ (teorema ASA).
$\therefore OE = OF$ (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales). Demostración completada.
*洞察：这个结论说明，过平行四边形中心的任意直线，不仅平分平行四边形的面积，其被对边截得的线段也被中心平分。

[Conexión múltiple de figuras] Como se muestra en la figura, hay dos cuadriláteros conectados $ABCD$ y $CDEF$. Se sabe que $AB=DC=EF$, $AD=BC$, $DE=CF$. ¿Qué segmentos paralelos hay en la figura?

Solución detallada:
Hay tres pares de segmentos paralelos en la figura:$AB \parallel DC \parallel EF$,$AD \parallel BC$y $DE \parallel CF$.
Proceso de razonamiento:
1. En el cuadrilátero $ABCD$, como $AB=DC$ y $AD=BC$, según el teorema de identificación «un cuadrilátero con dos pares de lados opuestos iguales es un paralelogramo», $ABCD$ es un paralelogramo. Por lo tanto, $AB \parallel DC$ y $AD \parallel BC$.
2. 同理，在四边形 $CDEF$ 中，因为 $DC=EF$（由 $AB=DC=EF$ 得出）且 $DE=CF$。四边形 $CDEF$ 也是平行四边形。由此得到 $DC \parallel EF$ 和 $DE \parallel CF$。
3. Finalmente, como $AB \parallel DC$ y $DC \parallel EF$, por la propiedad transitiva de las rectas paralelas, se sigue que $AB \parallel EF$. Por lo tanto, los segmentos $AB, DC, EF$ son mutuamente paralelos.

[Fusión algebraica y geométrica] Si el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo, se sabe que un lado $AB=6$, y que la longitud de $AB$ es exactamente $\frac{3}{16}$ del perímetro de $\square ABCD$. ¿Cuál es la longitud del lado adyacente $BC$?

Solución detallada:
1. Primero, calcula el perímetro total usando la proporción de la longitud de $AB$. El perímetro $L = 6 \div \frac{3}{16} = 6 \times \frac{16}{3} = 32$.
2. Según la propiedad de que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, el perímetro $= 2 \times (AB + BC)$.
3. Sustituye los valores conocidos en la ecuación: $32 = 2 \times (6 + BC)$.
4. Al resolver, $6 + BC = 16$, por lo tanto, $BC = 10$.

[Análisis conceptual] ¿Es un cuadrado el cuadrilátero que satisface las siguientes condiciones?
(Conocimiento adicional: Si es un triángulo rectángulo, sus tres lados satisfacen $a^2=c^2-b^2$. ¿Cómo evoluciona aún más un cuadrilátero?)
Si los tres lados de un triángulo, $a, b, c$, satisfacen $a^2 = c^2 - b^2$, ¿es este triángulo rectángulo? ¿Por qué?

Solución detallada:
¡Sí, es un triángulo rectángulo!
Al realizar una simple reordenación algebraica de la ecuación $a^2 = c^2 - b^2$, se obtiene:$a^2 + b^2 = c^2$.
Según elteorema recíproco del teorema de Pitágoras, si los tres lados de un triángulo cumplen que la suma de los cuadrados de dos de ellos es igual al cuadrado del tercero, entonces el triángulo es necesariamente rectángulo (y $c$ es la hipotenusa).
*Pensamiento extendido:Si un paralelogramo es dividido por sus diagonales en dos triángulos rectángulos (es decir, sus ángulos internos son $90^{\circ}$), se convierte en un rectángulo; si además sus lados adyacentes son iguales, finalmente se transforma en un cuadrado. Los conceptos básicos de ángulos rectos y paralelismo son la base para explorar todos los cuadriláteros especiales!